circuit_blogTek fazlı bir AC kaynağı tam dalga doğrultucudan geçirerek, bir ya da bir kaç adet paralel kondansatör grubundan oluşan, değerinin nasıl hesaplandığı pek bilinmeyen ve gizemli bir konu gibi gözüken solda verilen tarzda bir devre için Cbulk değerini kağıt üzerinde elde edeceğimiz denklemler ile hesaplayacağız. Yazının son bölümünde ise ideal olmayan bir dünyada yaşadığımızı dikkate alarak, çıkış gerilimi basit bir PI kontrolcüsü ile 15V’ta sabit tutulan, bir buck-converter devresini kullanarak elde ettiğimiz matematiksel ifadeleri simülasyon ortamında test edeceğiz.

Resim-1’de kağıt üzerinde yapılmış olan giriş kapasite hesaplaması verilmektedir. Denklemleri elde edip kullanmaya başlamadan önce devre hakkında temel bilgileri paylaşıp, tasarlayacak olduğumuz besleme devresi için tasarım girdilerini belirleyelim.

WhitePaperCbulkCalculations
Resim 1: Kağıt üzerinde giriş kapasite değerinin hesaplanması

Görece yüksek şebeke voltaj değeri bir transformatör yardımıyla, düşük voltaj ile çalışan elektronik elemanların sağlıklı bir şekilde çalışabileceği, makul düzeylere düşürülür. Ardından AC olan gerilim köprü diyot yapısı yardımıyla değişken bir DC forma dönüştürülür. Resim-1’de tam dalga doğrultulmuş  bir sinüs gösterilmektedir. Dikkat edilirse gerilim değeri 0V değerine kadar düşmekte olup, bu durumda elektronik cihazlarımız(opamplar, mikrodenetleyiciler, vs…) çalışamazlar. Bu sorunu giderebilmek için kondansatör/lere ihtiyacımız bulunmaktadır. Enerji depolama elemanı olan kondansatör, şebeke gerilimi düşmeye başlayıp tekrar belirli bir gerilime yükselene kadar, elektronik devrelerimizin enerjisini karşılayabilmelidir. “Karşılayabilme” ve “belirli bir gerilim” ifadeleri çok politik ve nahoş duruyor, bir mühendis bu ifadelerin ötesine geçebiliyor olmalıdır…

Tasarım Kriterleri

Tasarım kriterlerimizi aşağıdaki gibi belirlemiş olalım:

  • Minimum trafo çıkış gerilimi 18V AC
  • Şebeke frekansı 50Hz
  • Çıkış gerilimi 15V DC
  • Çıkış yükü 120Ω
  • Buck-Converter’ün sağlıklı bir şekilde 15V DC üretebilmesi için minimum giriş gerilimi 19V DC (Vmin) olsun
  • Köprü diyot üzerindeki toplam gerilim düşümünü 1V olarak belirleyelim

Yukarıdaki kriterler doğrultusunda resim-2’deki gibi bir hesaplama kitapçığı hazırlanabilir. Resim-2’de kullanılan denklemlerin nasıl elde edildiğine bakalım.

Resim 2: Hesaplama kitapçığı
Resim 2: Hesaplama kitapçığı

Önce hedefimizin ne olduğunu vurgulayarak başlayalım. Resim-1’e dikkatlice bakacak olursak ikinci çevrimde ta noktası belirtilmiş. Bu noktadaki voltaj değeri tasarım kriteri olarak belirttiğimiz Vmin yani 19V DC’ye karşılık gelmektedir. İkinci çevrimin başlangıcından ta anına kadar geçenki süreyi kolayca hesaplayabiliriz. Bunun için denklem-1‘i kullanabiliriz. 

(1)   \begin{equation*} \left( \sqrt{2} \times V_{AC} - V_{F} \right) \times \sin 2 \times \pi \times f \times t_a = V_{min}\end{equation*}

Vmin değerindeki zaman değerini elde edebilmek için ta değerini tek başına bırakmaya çalışalım.

(2)   \begin{equation*} \begin{split}\sin \left( 2 \times \pi \times f \times t_a \right) = \frac{V_{min}}{\sqrt{2} \times V_{AC} - V_F} \\2 \times \pi \times f \times t_a = \arcsin{\frac{V_{min}}{\sqrt{2} \times V_{AC} - V_F}} \\t_a = \frac{1}{2 \pi f} \times \arcsin{\frac{V_{min}}{\sqrt{2} \times V_{AC} - V_F}}\end{split}\end{equation*}

Resim-2’de hesaplamalar başlığının altında yer alan ta değerinin 1 ve 2 denklem gruplarını kullanarak nasıl elde edildiğini göstermiş olduk.

Elektronik Sistem Tarafından Çekilecek Enerji

Şebeke gerilimi tepe değerine çıkıp düşmeye başladığında, elektronik sistemin enerjisi giriş kondansatörü tarafından(bu amaç için çalışan kondansatörlere bulk kondansatörü/leri terimi kullanılmaktadır) karşılanacağını belirtmiştik. Hepimizin bildiği üzere temel kondansatör eşitlikleri denklem-3‘de verildiği gibidir.

(3)   \begin{equation*} \begin{split}X_C &= \frac{1}{2 \times \pi \times f} \\i_C &= C \times \frac{dv_C(t)}{dt} \\v_C(t) &= \frac{1}{C} \times \int i_C(t)dt + V_C(0)\end{split}\end{equation*}

Denklem-3‘de 3. sıradaki eşitliğe bakıldığında, kondansatörde biriktirilmiş enerjinin değişimini belirleyip kondansatör voltajının belirli bir süre sonra kaç voltluk bir seviyeye düşeceğini belirleyebilmemiz için kondansatörden çekilecek akım bilgisine ihtiyacımız var. Bu eşitliğe göre, kondansatörün deşarjına  başlanılmadan hemen önceki voltaj değerini biliyoruz, \sqrt{2} \times V_{AC} - V_F ve v_C(t) değerinin hedef voltaj değerimiz olan Vmin değerine eşit olacağı da belli, dolayısıyla geriye elektronik sistem tarafından çekilecek akım bilgisine ihtiyacımız kalıyor. Akım değerini 2 farklı şekilde ifade edebiliriz, bunlar:

  1. Zamana bağlı bir fonksiyon ile kabaca doğrusal azalan bir eşitlik bulabiliriz
  2. Çıkış gerilimimiz değişmeyeceğinden yani çıkış gücü sabit kalacağından ortalama değerler üzerinden sonuca ulaşabiliriz

Mühendisler olarak kolay ve işe yarar yöntemi tercih etme eğilimine sahip olmamız nedeniyle 2. maddede ki yöntemi kullanarak yolumuza devam edeceğiz.

(4)   \begin{equation*} \begin{split}P_{OUT} &= \frac{V_{OUT}^2}{R_{LOAD}} \\V_{ORT} &= \frac{\sqrt{2} \times V_{AC} - V_F + V_{min}}{2} \\I_{ORT} &= \frac{P_{OUT}}{V_{ORT}}\end{split}\end{equation*}

Denklem-4‘deki birinci eşitliği açıklamamıza gerek yok, ikinci eşitlikte giriş kondansatörümüzün şarj olacağı maksimum voltaj ile belirlediğimiz deşarj sonrası kondansatör voltajının (V_{min}) ortalama değerini hesaplıyoruz. Ardından üçüncü eşitlik ile güç ve ortalama voltaj değerlerini kullanarak ortalama akım değerini elde etmiş oluyoruz.

İhtiyaç Duyulan Kritik Kapasite Değerinin Hesaplanması

Giriş kondansatörümüzün sahip olması gereken kapasite değerini elde edebilmemiz için ihtiyacımız olan tüm parametreleri belirlemiş olduk, kısaca bu parametreleri ve değerlerini maddeler halinde sıralayalım.

  • ta değeri 2.83ms dolayısıyla giriş kondansatörünün toplam deşarj süresi 7.83ms(bir önceki çevrimin yarı periyodunu bu değere ekledik) olarak elde edilir
  • Giriş kondansatöründen çekilecek ortalama akım değeri, tasarım kriterlerine göre 86.29mA olarak elde ediliyor
  • Giriş kondansatörümüzün şarj sonrası ulaşacağı voltaj değeri (\sqrt{2}V_{AC} - V_F) ve deşarj sonrası voltaj değeri (V_{min})

Elde ettiğimiz bu değerleri denklem-3‘de yer alan integral eşitliğini kullanarak giriş kondansatörünün değerini kolayca belirleyebiliriz. Adım adım yapmamız gereken işlemler aşağıdaki gibidir.

(5)   \begin{equation*} \begin{split}v_C(t) &=\frac{1}{Cbulk} \times \int i_C(t)dt + V_C(0) \\v_C(t) &= -\frac{1}{Cbulk} \times \int_0^{T_{dch}} i_C(t)dt + V_C(0)\end{split}\end{equation*}

Denklem-5‘in ikinci eşitliğini kullanarak devam edeceğiz, giriş kondansatörümüz deşarj aşamasında enerjisini kaybettiği için integral işaretinin önüne (-) işareti eklenmiştir. Bu eşitlikte v_C(t) deşarj süresi sonunda ulaşacağımız voltaj değerini belirtmekte olup V_C(0) değeri ise deşarj işlemine başlamadan önceki giriş kondansatörümüzün voltaj değerini belirtmektedir. Tdch terimi ise toplam deşarj süresini belirtmektedir. 

Zamana bağlı akım ifadesi yerine ortalama akım ifademizi ve diğer parametrelerimizi denklem-5‘de yerine yerleştirerek işlemlerimize devam edersek C_{bulk} değerini denklem-6‘da ki gibi elde ederiz.

(6)   \begin{equation*} \begin{split}V_{min} &= -\frac{1}{C_{bulk}} \times \int_0^{T_{dch}} I_{ORT}dt + V_{max} \\V_{min} &= -\frac{1}{C_{bulk}} \times I_{ORT} \times T_{dch} + V_{max} \\C_{bulk} &= \frac{I_{ORT} \times T_{dch}}{V_{max} - V_{min}}\end{split}\end{equation*}

Denklemlerimizi elde ettik, güzel ve basit görünüyorlar peki gerçekten işe yarayacaklar mı? Basit bir simülasyon ile bunu test edelim.

Simülasyon Zamanı

 

Resim 3: Simülasyon devresi

Elde ettiğimiz matematiksel ifadeleri test etmek için resim-3’de paylaştığım devreyi kullandım. Kısaca devreyi soldan sağa doğru açıklayacak olursam, 18V AC RMS / 50Hz sinüzoidal bir gerilim kaynağı, her bir diyodunun gerilim düşümü 0.5V olan köprü diyot, 123.88\muF’lık giriş kondansatörü, çıkış gerilimini 15V değerinde sabit tutan(PI kontrolcüsü sayesinde) basit bir buck-converter yapısından oluşmaktadır. Yük direnci değeri 120\Omega‘dur.

Resim 4: Simulasyon sonucu

Simülasyon sonuçlarına bakıldığında giriş kondansatör değerinin 18.69V’a düştüğü, maksimum değerinin ise 24.46V olduğu görülmektedir. Çıkış gerilimi ise 15V’ta stabil bir şekilde durmaktadır.

Pratik çalışmalarınızda dikkat edilmesi gereken bazı önemli hususları aşağıda maddeler halinde paylaşıyorum.

  • İdeal bir dünyada yaşamadığımız için üretilen kondansatörlerin tolerans değerleri bulunmaktadır ve bu değer genellikle %10 ya da %20’dir. Dolayısıyla kullandığınız kondansatöre göre tolerans değerini yukarıda hesaplanan kondansatör değerine en kötü durum için eklememiz gerekmektedir. Böylece seri üretim sonrası üründen ürüne değişkenlik gösterebilecek durumlar ile karşılaşmamış olursunuz.
  • Seramik(ceramic) SMD (X7R, X5R, …) yapıda olan kondansatörleri kullanacak olursanız, X7R ve X5R gibi dielektrik materyaller ile üretilen bu kondansatörlerin DC-bias gerilimine göre kapasite kayıplarını dikkate almanız gerekmektedir.
  • Kullanılan kondansatör türüne göre yaşlanma faktörüne bağlı olarak kapasite kaybını dikkate almalıyız, bu kayıp sonrası bile cihazlarınızın ilk günki gibi sorunsuz çalışmasını istiyorsanız, bu faktörü hesaplanan kapasite değerine üzerine ekleyerek uzun ömürlü bir cihaz tasarımı yapabilirsiniz.
  • Eğer elektronik sistemiz tarafından yüksek miktarlarda akım çekilmesi söz konusu ise(güç elektroniği) ve devreniz doğrultulmuş bir şebeke ile besleniyorsa, toplam kapasite değişmeyecek şekilde küçük kapasite değerine sahip bir çok kondansatör paralel bağlanmalıdır. Burada ESR değeri dikkate alınarak kondansatörler üzerinden geçecek akım değeri uygun bir şekilde paylaştırılmalıdır.

Giriş Kondansatör Değeri Nasıl Hesaplanır?

Leave a Reply