thales_shrinked

Aslında başlığın aksine her şey büyük bir patlama(Bing-Bang) ile başladı, madde, enerji ve uzay ortaya çıktı. Evrenimizin bu hikayesine fizik diyoruz.

Ardından atomların birleşimleriyle daha karmaşık yapılar olan moleküller oluşmaya başladı. Atomların arasındaki etkileşimin hikayesine kimya diyoruz.

Yaklaşık 4~5 milyar yıl önce bazı moleküller bir araya gelerek, Dünya adını verdiğimiz gezegende organizmalar meydana geldi. Organizmaların günümüze kadar olan değişimlerinin hikayesine biyoloji diyoruz.

Yaklaşık 70 bin yıl önce Homo-Sapiens’e ait yaşam formları bir araya gelerek, kültür adını verdiğimiz yapıları oluşturdular. Bunu takip eden insan kültürlerinin hikayesine tarih diyoruz.

Bu gün sahip olduğumuz bilimsel kazanımların meşalesini yaklaşık 2600 yıl önce ateşleyene ise Thales diyoruz. Tüm bu olmuşların hepsine ise kader, kısmet, olacağı vardı değil, olasılık diyoruz!

      Matematik ve geometri tarihinin başlangıcı konulu bu yazıda, önce antik uygarlıkların yani Mısır ve Babil’lerin(M.Ö. 2000’ler ve öncesi) matematik ve geometri kullanarak neler yapabildiklerine, ardından Thales’in geometri ve matematik ile tanışması ve yaptıklarından bahsedeceğim.

      Peki geometri ve matematiğe olan bu ilgi/ihtiyacın kaynağı/kaynakları neydi? Özetle hem toplumların kendi içlerinde ki hemde diğer toplumlarla arasındaki alışverişlerin doğru ve hızlı bir şekilde yapılabilmesi aritmetiğe olan ihtiyacı, özellikle Mısır medeniyetinde arazi alanlarının hesaplanabilmesi geometriye olan ihtiyacı doğurmuştur.

      Yazının duvarlarını örmeye başlamadan önce matematik tarihiyle ilgili daha fazlasını birinci ağızdan dinlemek isteyenler, Floarin Cajori tarafından 19. yy da yazılmış, Deniz İlalan tarafından 2014 yılında Türkçe’ye çevrilen Matematik Tarihi adlı kitabı edinebilirler.

     BABİL’DE MATEMATİK

      Babiller bilinen en eski uygarlıklardan bir tanesidir ve Mezopotamya bölgesinde Fırat Dicle nehirleri yakınlarında yaşamışlardır. Ağırlıklı olarak aritmetik ile uğraşmışlardır(Astronomi ile yakından ilgilenmişlerdir ancak bu yazıda değinmeyeceğim).
      Halen kullanmaya devam ettiğimiz 60’lık sistemler(60 saniye, 60 dakika, 360 derece, …) Babiller’den bize kalan mirastır. Halen açıları ifade ederken, örneğin 66° 23′ 13″ = 66 derece, 23 dakika, 13 saniye ölçüm tekniği kullanılmaktadır, yine Babilliler’in mirasıdır.
      Günümüz de birçoğumuz 10’luk sayı tabanında işlemlerimizi yapmaktayız ancak Babilliler 60’lık sayı tabanında aritmetik işlemlerini yapmaktaydılar. Bu ne demek? ilkokuldan itibaren işlemlerimizi hep 10’luk tabanda yaptık yani sayı üretebilmek için kullanabildiğimiz en büyük rakam 9’du, Babilliler ise 60’lık tabanda aritmetik işlemlerini yaptıklarından, onların kullanabildikleri en büyük rakam 59’du.

BabilRakamlar_kirpildi

      Rakamların gösterimi için kullandıkları yöntem ise oldukça yaratıcıydı, yukarıda 1, 5, 10 ve 29 sayılarının gösterimleri verilmiştir. Roma matematiğinde ki her bir sayı için ayrı bir sembol kullanımının aksine günümüzde ki yaklaşım ile örtüşen dahiyane bir sistem kullandıkları açıkça görülmektedir. Babilliler’in sayı sisteminde dikkat çeken bir diğer nokta rakamları semboller ile gösterdiklerinden, sayı hanelerini birbirinden ayırt edebilmek için rakamların arasına boşluk koymuşlardır. 3512 sayısı üzerinden verilen örnekte bu durumda gösterilmiştir.

      Babilliler’den bize kalan en büyük ve en önemlisi diyebileceğimiz miras ise yukarıda ki resimde de görüldüğü üzere günümüzde ki gibi basamak değeri sistemini keşfetmiş ve kullanmış olmalarıdır. Babilliler’in bu aritmetiğini, Hindistan medeniyetinin(Hindular) nasıl günümüzde ki şekline dönüştürdüğünü ilerleyen yazılarda eğer yazasım gelirse:) anlatmaya çalışacağım.

Bu bölümü çok uzatmadan Babilliler’in matematiği kullanarak neler yapabildiklerini maddeler halinde verelim:

  • İkinci dereceden denklemleri çözebiliyorlardı; ortaokulda(yoksa lise miydi?) öğrendiğimiz diskriminant yöntemini doğrudan kullanmadan yapıyorlardı.
  • Çok bilinmeyenli problemleri çöze biliyorlardı; örneğin 4 bilinmeyenli 4 denklem. Bu problemlere ilgi, miras paylaşımını yapabilmeye olan ihtiyaçtan doğmuştur.
  • Kesirli sayılarla işlem yapabiliyorlardı; paydayı sabit 60 tutarak, paydaki değerler değiştirilmek üzere hazırlanan tersler tablosu(tersler cevteli diyede geçer) aracılığıyla yapılıyordu.
  • Dairenin alanını yaklaşık Alan = 3 \times r^{2} karşılık gelen bir yöntemle hesaplıyorlardı. \pi sayısını 3 - \frac{1}{8} şeklinde hesaplamışlardı.
  • Pisagor teoremini(a^{2} + b^{2} = c^{2} ) biliyorlardı ancak kuramsal olarak bunu ilan eden Pythagoras olmuştur.
  • n^{2} + n^{3} biçimdeki denklemleri yaklaşık olarak çözebiliyorlardı.
  • Oran orantıyı problem çözümlerinde kullanıyorlardı.
      Böyle bir medeniyetin en büyük eksiği ise matematik ve geometriyi gündelik hayatta karşılaştıkları problemleri çözmek dışında kuramsal bir düşünce yapısıyla ele almamış olmalarıdır. Kullandıkları yöntemlerin ispatını yapmamış olup(muhtemelen bunu merakta etmemişler; yaptığımız şey acaba doğru mu, sorusunu sormamışlar), sezgisel olarak uyguladıkları tekniklerin doğru olduğuna inanmışlardır.
      Son olarak 0’ı icat edememiş/etmemiş olmalarıda bana baya ilginç gelmişti; bildikleri belkide onlara yeterli geldiğinden, yada sıfır olmadan da gündelik problemlerini çözebildiklerinden dolayı bunun üzerine düşünmemiş olmaları muhtemeldir.

MISIR’DA MATEMATİK ve GEOMETRİ

Mısır’da ki piramitlerin uzaylılar tarafından yapıldığına güçlü bir şekilde inan hayal dünyası geniş insanlarımız var, ciddi ciddi bu işe kafa yorup ekranlarda 4000 yıl önce(M.Ö. 2000’ler) insanlar tarafından bu yapıların nasıl yapılmış olabileceğini anlatan bilim-insanları da var. Bence ilk görüşü desteklemek insan aklını, zekasını, hayal gücünü küçümsemektir(Eski uygarlıkları küçümsemeyin!). Mısırlıların matematik ve geometride neler yapabildiklerini gördüğünüzde bu medeniyete olan bakış açınızın değişeceğini düşünüyorum. Tabi günümüzde ki Mısır ile Eski Mısır arasında uçurum var, aynı toprakları paylaşan tamamen farklı iki ülke olarak düşünebilirsiniz.

      Mısır medeniyetinde bir rahip sınıfı bulunmaktaydı ve bu rahipler ciddi şekilde astronomi, geometri ve matematik eğitimi almaktaydılar. Astronomiyi mevsimsel olayları(Nil nehrinin taşması gibi…) yüksek bir doğrulukla kestirebilmek ve dolayısıyla toprağın ne zaman ekileceğini, ne zaman ürünlerin toplanacağını halka bildirmeleri gerekiyordu. Bu nedenle astronomi oldukça önemliydi. Ayrıca 360 güne dayanan bir takvimde kullanmışlardı ancak yaklaşık 5 günlük hatadan dolayı 4 yılın ardından aylarda kaymalar olmaya başlıyor dolayısıyla mevsim başlangıç ve bitiş tarihleriyle ilgili ciddi problemler oluşuyordu. Zamanla takvimlerini iyileştirmişlerdir.

      Mısır kralları Nil nehri etrafında ki toprakları ilk etapta halka eşit bir şekilde dağıtıp(yani dağıtılan toprakların alanları eşit) herkesi eşit bir vergilendirmeye tabi tutuyordu. Ancak Nil nehrinin yakınında bulunan toprak sahipleri nehrin taşması sonucu eğer topraklarının bir kısmı su altında kalırsa görevli rahiplere bu durumu bildirip kaybettikleri toprakları oranıyla vergilerinin azaltılması sağlanıyordu. Bunun için rahipler:

  1. Toprağın su altında kalan bölümün alanını hesaplamaktaydı
  2. Nil nehri tarafından yutulan bu toprak alanı toplamdan çıkartılarak yeni vergi değeri basit bir orantıyla elde edilmekteydi.

      Tüm bu vergi ve alan hesaplamalarını yapabilmeleri için şüphesiz iyi düzeyde matematik ve geometri bilmeleri gerekiyordu. Ya ne var ki bunda diye düşünenler olabilir, böyle düşünenleri o günlere götürebilmek adına, dik kenarlarının uzunlukları 10 ve 6 olan bir dik üçgen hayal edin ve \frac{10 \times 6}{2} formülünü bilmediğinizi varsayıp üçgenin alanını hesaplamaya çalışın yada benzer şekilde bir yamuğun alanını, nasıl yapardınız?

      Mısır medeniyetinden günümüze kadar ulaşabilen en eski yazılı kaynak Ahmes papirüsüdür. Bu kaynakta hem aritmetik hemde geometrik problemlere yönelik, problemler özelinde çözüm önerileri bulunmaktadır. Bu eserin M.Ö. 1700 öncesinde yazıldığı tahmin ediliyor.  Peki Mısırlıların kullandıkları sayı sistemi nasıldı? Aşağıdaki resimde 4 için 4 çizgi, 9 için 9 çizgi, 10 için at nalına benzeyen bir sembol, 100 için salyangozu andıran bir sembol ve 100000 için kurbağa sembolünü kullanmışlardır.

MisirSayilar

      Örneğin 45 sayısını ifade edebilmek için bitişik 10 tane at nalı ve 5 tane çubuk ile gösterim sağlanıyordu yani toplama ilkesi kullanıyordu. Bence aritmetik işlemleri yapma pratikliği düşünüldüğünde Babilliler’in sayı sisteminin çok daha sade ve kullanımının kolay olduğu söylenebilir.
      Mısırların matematikte ne kadar kabiliyetli olduklarını anlayabilmemiz adına Ahmes papirüsünde yer alan bir problemi burada paylaşıp bu başlığa noktayı koymak istiyorum yoksa yazının kahramanı Mısırlılar olacak:).

Problem: 100 somun ekmeği 5 kişi arasında, paylar aritmetik olarak azalacak şekilde ve ilk 3 payın toplamının yedide birini son iki payın toplamına eşit olacak şekilde bölüştürün. Fark ne olur?
Ahmes bu problemi günümüzde regula-falsi diye isimlendirdiğimiz yöntem ile çözmüştür.

      Mısırlılar’da Babiller gibi geometri ve matematiği gündelik problemlerini çözmek dışında kullanmadılar dolayısıyla kurumsallıktan uzak kaldıklarından, Babil ve Mısır medeniyetlerinin ürettikleri bu bilgileri kuramsal anlamda ele alma görevi(Formülleştirme, kavramları oturtma, ispat,…) Antik-Yunan medeniyetine kaldı. Platon’un bu ifadeyi doğrulayan güzel bir sözü var, aynen şöyle diyor “Biz Yunanlılar aldığımız her şeyi geliştirir, mükemmelleştiririz”.

THALES

Yazının kahramanı Thales’e sonunda gelebildik, umarım başlığın enerjisini bu bölüme aktarabilirim.

      Yunanlıları geometriyle ilk kez buluşturan filozoftur(M.Ö. 640 – 546). 40’lı yaşlarında ticaret yapma hevesiyle Mısıra gidiyor. Bu sırada hiç beklenmeyen güzel bir tesadüf sonucunda Mısırlı rahiplerden geometri ve matematik dersleri almaya başlıyor. Mısır’dayken kralın merakı üzerine piramitlerin boyunu hesaplayarak herkesin taktirini kazanıyor. Bunu nasıl yaptığını anlatmadan önce, şuan kendinizi Mısır’da hayal edin ve yanınızda hiç bir araç gereç yok, internet yok, yanınızda bu sorunun yanıtını bilen kimse yok. Thales’in o zaman bildiğinden daha fazlasını biliyorsunuz ve piramidin boyunu merak etmeye başladınız, bir yandan güneşin altında sürekli su kaybediyorsunuz, mataranızda ki su bitmek üzere ancak siz yinede çok kararlısınız! Piramidin boyunun kaç metre olduğunu tespit etmeden gitmeyeceksiniz. Yanınızda da yaklaşık 1 metrelik bir sopa olsun. Piramidin boyunu nasıl hesaplarsınız?

      Thales’in bu problemi iki farklı şekilde çözdüğü ifade edilir:

  1. Bir sopayı yüzeye yerleştirip, sopanın o anki gölgesinin düştüğü yere bir işaret koyuyor, aynı şeyi piramidin gölgesi içinde yapıyor. Dolayısıyla şuanda sopanın boyu(s), sopanın gölgesi(sg) ve piramidin gölgesinin(pg) boylarını biliyor. Yandaki gibi basit bir orantıyla PiramidBoyu = \frac{s}{sg} \times pg piramidin boyunu elde ediyor. Hem Babilliler hemde Mısırlılar oran-orantıyı keşfetmişlerdi(en azından problemlerinin çözümlerinde kullanıyorlardı) ancak hiçbir Mısırlı, belki piramidinin boyunun kaç metre olduğunu MERAK etmediğinden herhangi bir çözüm önerisinde bulunmamıştır.
  2. Yine sopayı kullanarak piramidin boyunu hesaplıyor ancak bu sefer ki fark, sopanın gölge boyunun tam olarak sopanın boyuna eşit olduğu anda piramidin gölge boyunu işaretliyor ve o zamanki ölçü birimi olan khet göre piramidin boyunu elde ediyor.

      İki yöntemde güzel ancak ikinci yöntem beni daha çok etkilemişti. Benim için 1. yöntem öğrenilenin etkin bir şekilde kullanılabilme kabiliyetini ifade ederken, ikincisi ise daha yaratıcı bir zihnin ürünü olduğu düşüncesini bende oluşturuyor. Bu iki çözümü de tek bir adamın gerçekleştirmiş olması ise bu yazının kahramanını Thales yapıyor!

      Thales’in Mısır macerasının ardından yurduna dönüp açtığı okuldan ve yetiştirdiği öğrencilerden vs yazmayı düşündüğüm bir sonraki Antik Yunan’da matematik ve geometri başlıklı yazıda( eğer yazasım gelirse:) ) yer vermeyi düşünüyorum. Orta okuldan itibaren keşke özellikle fen ve matematik derslerinde, tarihleriyle ilgilide azar-azar kısa bilgiler verilerek dersler işlenseydi ne güzel olurdu diye düşünmeden edemiyorum. Umarım sonraki nesillerin böyle bir şansı olur!

 

Herşey Thales(Tales) ile Başladı!
Tagged on:                                 

One thought on “Herşey Thales(Tales) ile Başladı!

Leave a Reply