BodeKontrolcülere, motor kontrol, anahtarlamalı güç kaynağı (SMPS) gibi bir çok uygulamada başvurmaktayız. Bir motor hangi yük altında çalıştırılacak olursan olsun, arzu ettiğimiz hızda sürekli çalışmasını sürdürmesini yada bir PFC(Power Factor Correction) uygulamasında giriş akımının giriş gerilimini takip etmesini sağlayabilmek için kontrolcülere ihtiyaç duyarız. Bu yazıda kontrolcü tasarımıyla ilgili temel kriterlerden bahsedip kontrolcü karekteristiğini belirleyen sıfır ve kutup noktalarını ayrı ayrı ele alıp davranışlarını ortaya koyacağız. Ardından birer adet sıfır ve kutuba sahip kontrolcünün tüm denklemlerini aşama aşama çıkartacağız, matematiğin bol olduğu en keyifli kısımda burası olacak. Yazının sonunda ise bir FullBridge DC/DC dönüştürücü transfer fonksiyonunu masaya yatırıp uygun kontrolcü tasarımını yapmayı planlamıştım ancak oldukça uzun bir yazı olacağından bu durum özelinde ayrı bir konu açmaya karar verdim. Bir sonraki yazıda ise burada ürettiğimiz denklemleri kullanarak bu uygulamayı matlab/octave ortamında gerçekleştireceğiz.

Frekans Uzayı(Domeni)

Tasarımların zaman ortamında değilde frekans uzayında yapılıyor olmasının tek, basit ve net bir cevabı var oda matematiksel sadelik ve zaman ortamında ki matematiksel karmaşa ve zorluklardan bizleri kurtarıyor olmasıdır, 18-19. yüzyıl kahramlarından biri olan Joseph Fourier’i anarak bu bölüme başlayalım. Yazıya devam etmeden önce burada paylaşılacak bilgilerin DZDS(Düzgün Zamanla Değişmeyen Sistemler) için geçerli olduğunu belirtelim.

Bir sistemin frekans cevabı karakteristiğiyle zaman cevabı karakteristiği arasında dolaylı bir korelasyon mevcuttur. O halde istenilen zaman cevabı karakteristiğine frekans uzayı cevabıyla ulaşabilmemiz mümkündür. İki ortam arasındaki korelasyonu belirleyen parametreler/değişkenler nelerdir ve hangisi/leri arasında nasıl bir ilişki vardır sorusunu kısaca cevaplayalım.
Frekans uzayında çalışırken kullanacağımız parameterler:

  • Faz marjı
  • Kazanç marjı
  • Rezonans tepe genliği
  • Kazanç geçiş frekansı
  • Rezonans frekansı
  • Bant genişliği
  • Statik hata katsayıları(hız hata katsayısı, pozisyon hata katsayısı ve ivme hata katsayısı)

Zaman ortamı parametreleri:

  • Yükselme zamanı(sistem hızı)
  • Aşım değeri(sönüm oranı)
  • Oturma zamanı(sistem hızı)
  • Kalıcı hal hatası

Frekans ve zaman ortamı parametreleri arasındaki ilişki ise aşağıdaki gibidir:

  • Sistem sönüm oranı := Faz marjı, kazanç marjı, rezonans tepe genliği
  • Sistem geçiş zamanı hızı := Kazanç geçiş frekansı, bant genişliği, rezonans frekansı
  • Sürekli hal hatası := Statik hata katsayıları

Kompanzatör tasarımını yapılırken sistem derecesi yada kullanılacak olan kompazatör derecesi ne olursa olsun aşağıdaki maddelere dikkat edilmelidir.

  1. Alçak frekans bölgesindeki kazanç yeterince büyük olmalıdır. Böylece kalıcı hal hatası minimize edilmiş olur.
  2. Kazanç geçiş frekansı yakınlarındaki genlik eğimi -20dB/dec olmalıdır. Tasarlanan kompanzatörün sistemde oluşan dinamiklere karşı verdiği tepki bu frekans bölgesidir ve buradaki eğimin -40dB/dec olması bu frekans bölgesinde 2 adet kutubun etkin olduğunun göstergesidir ve sistem fazının -180dereceye yaklaşacağı anlamına gelir, böyle bir durumda kontrol sağlanamaz.
  3. Uygun bir faz marjı için -20dB/dec’lık eğim yeterince geniş bir frekans bandı için genişlemelidir.
  4. Yüksek frekans bölgesindeki(w>>wc bölgesi) gürültüleri bastırmak için kazanç mümkün olduğunca hızlı bir şekilde azaltılmalıdır. Yani bu bölgedeki eğim -20dB/dec aşabilir.
  5. İyi bir kontrolcü tasarımında açık çevrim sistemin faz marjı 45^\circ‘den büyük olmalıdır.

Yukarıdaki bilgiler hemen hemen her kontrol kitabında bahsedildiğinden, bu tanım yada maddelere aşina olmayan arkadaşlar için Ogata yada Richard C.Dorf’un kaynaklarına bakıp üzerine biraz kafa yormalarını tavsiye ederim.

Sıfır Etkisi

(1)   \begin{equation*}  \begin{split} G_{zero}(s) &= (s+z) \\ G_{zero}(jw) &= z \times (jw/z+1) \\ \end{split} \end{equation*}

Yukarıda frekans ve laplace uzaylarında verilen denklemler sıfır karakteristiğini belirtmektedir ve istenilen faz artışını sağlayan birimdir. Bu eşitliğin frekans cevabını z = 100krad/sn için çizdirecek olursak aşağıdaki grafik elde edilir.

bode_Gzero

Şimdilik genlik cevabıyla ilgilenmeyeceğiz, alttaki faz cevabına baktığımızda kritik 3 nokta işaretlenmiştir bu noktalardan bahsetmeden önce G_{zero}(s) fonksiyonunun faz açısını veren eşitlik \phi (w) = atan(w/z)‘dir ve faz grafiği bu denklemin tüm frekans değerleri için taranmış halidir. Bode diyagramından görüldüğü üzere w = 10^5 noktasına gelindiğinde genlik cevabı yeni yeni yükselmeye başlamakta faz açısı ise 45^\circ‘ye ulaşmıştır. Buradan anlaşılması gereken önemli nokta faz cevabının genlik cevabından daha önce etkin olmaya başladığıdır.

Faz cevabında işaretlenmiş olan 3 noktayı soldan sağa doğru tanımlarsak, w_{sol} = 10^4 ve açısı \phi_{sol} = 5^\circ, ortada yer alan w_{orta} = 10^5 ve açısı \phi_{sol} = 45^\circ, sağda yer alan w_{sag} = 10^6 ve açısı \phi_{sag} = 85^\circ‘dir. Dolayısıyla atan(w/z) fonksiyonu yerine daha sade yaklaşık bir fonksiyon yazabiliriz, \phi(w) = 45 \times log \frac{10 \times w}{z} dilerseniz bu eşitlikten de  faydanalanabilirsiniz.

Kutup Etkisi

(2)   \begin{equation*}  \begin{split} G_{pole}(s) &= \frac{1}{s+p} \\ G_{pole}(jw) &= \frac{1}{p} \times \frac{1}{jw/p+1}) \\ \end{split} \end{equation*}

Denklem-2‘de bir adet kutuba sahip bir kontrolcü için transfer fonksiyonları verilmiştir. Kutup noktası p = 100krad/sn değerine göre bode diyagramı aşağıdaki gibi oluşmaktadır. Sıfır cevabının tersi bir etkiye sahiptir.

bode_Gpole

G_{pole}‘ün faz eşitliği \phi(w) = -atan(w/p)‘dir. Sıfır etkisinde olduğu gibi faz açısı yaklaşık doğrusal bir denklem ile ifade edilebilir. Faz açısı için \phi(w) = -45 \times log(\frac{10 \times w}{p}) eşitliğide tercih edilebilir. Frekans değeri kutup değerinin 10katına ulaştığında faz farkı -90^\circ‘ye yakınsadığı görülmektedir. Kutup etkinliğinin başladığı nokta ise köşe frekansı olarakta adlandırdığımız p kutup noktasının 10’da birinde başlamaktadır.

Faz Arttıran Kontrolcü(Lead Controller)

Yazının en güzel ve heyecanlı bölümüne geldik. Burada bir adet sıfır ve kutuba sahip bir kontrolcü için denklemlerini elde edip bode diyagramını inceleyeceğiz. Matematiksel çıkarımlara başlamadan önce olayı biraz yüzeysel değerlendirelim. Aşağıdaki resimde hemen hemen her sistemde karşılacağımız ve elde etmeye çalışacağımız(biçimsel olarak) bir kontrolcü karakteristiği verilmiş ve önemli noktaları yeşil ile işaretlenmiştir. Burada Z ile sıfır noktamız belirtilmekte olup faz artımının başlayacağı frekans bölgesini belirler. w_m ise faz artışının maksimum değerine ulaştığı frekans bölgesini belirtir ve 2 kritik değerin yani sıfır ve kutup noktalarının ortasında(görsel olarak) yer alır. Kutup noktası ise sıfır tarafından üretilen faz artış miktarını istenilen değerde sınırlamamızı sağlayan parametremizdir. Kutup etkisini göstermeye başladığında sıfır etkisi nötrlenmeye başlar.

Bode_modified

 

Z ve P değerlerini istenilen w_m ve \phi faz marjına göre sentezlememizi sağlayacak denklemleri elde etmeye başlayabiliriz.Kontrolcü transfer fonksiyonunu vererek devam edelim.

(3)   \begin{equation*}  \begin{split} G_{lead}(s) &= K \times \frac{s+z}{s+p} \\ G_{lead}(jw) &= K \times \frac{z}{p} \times \frac{jw/z + 1}{jw/p + 1} \\ \end{split} \end{equation*}

Denklem-3 için 2 farklı faz açısı eşitliği kullanılabilir(sonuçları aynıdır). Bunlardan ilki

(4)   \begin{equation*}  \begin{split} \phi_1(w) &= atan(w/z)-atan(w/p) \\ \end{split} \end{equation*}

İkincisi ise G_{lead}(jw) eşitliğinin eşleniği alınıp \phi_2(w) = atan(img, real) işletilerek elde edilir.

(5)   \begin{equation*}  \begin{split} G_{lead}(jw) &= \frac{(jw/z + 1) \times (-jw/p + 1)}{1+w^2/p^2} \\ G_{lead}(jw) &= \frac{w^2/(z \times p) + jw/z - jw/p + 1}{1+w^2/p^2} \\ \phi_2(w) &= atan(\frac{w/z - w/p}{1 + w^2/(z \times p)}) \\ \end{split} \end{equation*}

Tekrar vurgulayalım \phi_1(w) = \phi_2(w) dır. Yalnızca biçimsel olarak farklıdırlar.
Maksimum faz artışının gerçekleştiği frekans değeri olan w_m‘i elde edelim. Bunun için \phi_1(w) eşitliğinin maksimum noktasını bulmamız yeterli. Yani \phi_1(w)‘in türevini alıp sıfıra eşitleyeceğiz.

(6)   \begin{equation*}  \begin{split} \frac{d\phi_1}{dw} &= \frac{1/z}{1+w^2/z^2} - \frac{1/p}{1+w^2/p^2} = 0 \\ \frac{1}{z} - \frac{1}{p} &= w^2 \times (\frac{1}{z^2p} - \frac{1}{p^2z}) \\ w^2 &= z \times p \\ w_m &= \sqrt{z \times p} \\ \end{split} \end{equation*}

Maksimum faz artışının oluştuğu w_m frekans değeri sıfır ve kutubun geometrik ortalaması olduğu elde edildi. Kutup noktasıyla sıfır noktası arasındaki oranıda belirleyebilirsek p ve z değerleri kolaylıkla bulunabilir. Bu oranı elde etmek için \phi_2(w) eşitliğinde w_m değerini yerine koyalım,

(7)   \begin{equation*}  \begin{split} \phi_2(w_m) &= \frac{atan(\sqrt{z \times p}/z - \sqrt{z \times p}/p)}{1 + 1} \\ \phi_2(w_m) &= atan(\frac{\sqrt{p/z} - \sqrt{z/p}}{2}) \\ \end{split} \end{equation*}

Denklem-7‘deki ifadenin her iki tarafının tanjantını alarak işleme devam edersek,

(8)   \begin{equation*}  \begin{split} tan(\phi_2(w_m)) &= \frac{\sqrt{p/z} - \sqrt{z/p}}{2} \\ \end{split} \end{equation*}

Bu noktadan sonra z ile p arasındaki oranı kolayca bulabilmek için trigonometrik bir eşitliğe başvurmamız gerekiyor. Bu eşitlik denklem-9 da verilmiştir. Bu ifadeyi bir dik üçgen üzerinden kolayca görebilirsiniz.

(9)   \begin{equation*}  \begin{split} sin(\phi) &= \frac{tan(\phi)}{\sqrt{1 + tan^2(\phi)}} \\ \end{split} \end{equation*}

Denklem-8 denklem-9‘da yerine koyulursa,

(10)   \begin{equation*}  \begin{split} sin(\phi_m) &= \frac{\frac{p - z}{2 \times \sqrt{z \times p}}}{\sqrt{1 + 0.25 \times (p/z - 2 + z/p)}} \\ sin(\phi_m) &= \frac{(p - z)/\sqrt{z \times p}}{\sqrt{4 + (p^2 + z^2)/(z \times p) - 2}} \\ sin(\phi_m) &= \frac{(p - z)/\sqrt{z \times p}}{\sqrt{(p^2 + z^2 + 2\times z \times p)/(z \times p)}} \\ sin(\phi_m) &= \frac{p - z}{p + z} \\ p - p\times sin(\phi_m) &= z + z \times sin(\phi_m) \\ \frac{p}{z} &= \frac{1 + sin(\phi_m)}{1 - sin(\phi_m)} \\ \end{split} \end{equation*}

10. denklem kümesinde verilen \phi_m faz değeri w_m frekans noktasında istenilen maksimum faz miktarıdır.

Bundan sonrası oldukça basit, \alpha = p/z atamasını yapalım ve z = \alpha / p ifadesini w_m = \sqrt{z \times p} denkleminde yerine yerleştirelim p = w_m \times \sqrt{\alpha} kutup noktamız elde edilir. Sıfır noktamızıda z = p / \alpha eşitliğinden kolayca belirleyebiliriz.

Elde ettiğimiz bu denklemleri matlab/octave programlarında çalıştırabileceğiniz bir m-file’a aktardım, aşağıda bu kod parçası verilmiştir.

Yukarıda verilen kod üzerinden bir örnek ile yazımızı sonlandıralım.
Kontrolcü tasarım girdilerimiz şu şekilde olsun;

  • Sistem köşe frekansı w_c = 50k rad/sn yani bu frekans noktasında maksimum faz marjını istiyoruz.
  • İstenen faz marjını \phi = 43^\circ olarak belirleyelim

Bu veriler doğrultusunda elde edilen kontrolcü transfer fonksiyonumuz eşitlik-11‘deki gibidir.

(11)   \begin{equation*}  \begin{split} Gc &= \frac{s + 2.174 \times 10^4}{s + 1.15 \times 10^5} \end{split} \end{equation*}

bode_Gclead

Kontrolcünün bode diyagramını incelediğimizde girdilerimize uygun frekans cevabını elde ettiğimiz görülmektedir. Doğrulamamızı yaptığımıza göre yazımızı sonlandırabiliriz.

Herkese çalışmalarında başarılar dilerim.

Kontrolcü Tasarım Temelleri
Tagged on:                                                         

Leave a Reply