Z dönüşümü dijital kontrol sistemlerinde kullanılan, işlemcilerimizde elde ettiğimiz denklemleri koşturabilmemiz için kullandığımız bir araçtır. Örneğin zamana bağlı herhangi bir fonksiyonu sin(w*t + x), cos(w*t + y), … yada s-ortamında transfer fonksiyonunu elde ettiğiniz herhangi bir eşitliği kolayca işlemcilerde koşturabiliriz. Bu yazımda faz farklı genel bir sinüs için Z dönüşüm çözümünü elde edeceğiz. Bir sonraki yazıda ise STM32 serisi bir mikrodenetleyici ile burada elde edilen matematiksel sonucumuzun gerçeklemesini yapacağız.

1. Z DÖNÜŞÜMÜ ÖN BİLGİ

Z dönüşümü için denklem-1 de verilen seri toplam eşitliği kullanılır.

(1)   \begin{equation*}  \begin{split} F(z) &= \sum_{n = 0}^{\infty} f(n \times T_{s}) \times z^{-n} \end{split} \end{equation*}

f(t) = V \times e ^ {-a \times t} olmak üzere, Ts periyodu ile örnekleme yapıldığında ayrık
zaman denklemi f(n \times T_s) = V \times e ^ {-a \times n \times T_s} şeklinde yazılır. Bu eşitliğe geometrik seri açılımı formülü uygulandığında denklem-2 elde edilir.

(2)   \begin{equation*}  \begin{split} F(z) &= V \times \frac{1}{1 - e ^ {-a \times T} \times z^{-1}} \end{split} \end{equation*}

2. FAZ FARKLI SİNÜS Z DÖNÜŞÜMÜ

Faz farki φ ve acisal frekansi w olan sinus denklemi f(t) = sin(w \times t + \phi)  şeklinde yazılacak olursa, bu ifadenin ayrık zamandaki karşılığını t = n × Ts yazarak f(n \times T_s) = sin(w \times n \times T_s + \phi) şeklinde elde ederiz.

(3)   \begin{equation*}  \begin{split} e^{j \times w \times t} &= cos(w \times t) + j \times sin(w \times t) \\ e^{-j \times w \times t} &= cos(w \times t) - j \times sin(w \times t) \\ sin(w \times t) &= \frac{e^{j \times w \times t} - e^{-j \times w \times t}}{2j} \\ \end{split} \end{equation*}

Elde edilen f(n \times T_s) yada f[n] ayrık sinus denklemi, denklem-3’deki euler eşitliği kullanı-
larak ayrık sinüs denklemi üstel formda elde edilir ve denklem-2’deki formül kul-
lanılarak Z dönüşümü bulunabilir.

(4)   \begin{equation*}  \begin{split} f[n] &= \frac{e^{j \times (w \times n \times T_s + \phi)} - e^{-j \times (w \times n \times T_s + \phi)}}{2j} \\ \end{split} \end{equation*}

Faz farkli sinüs denkleminin dijital karşılığı adım adım aşağıdaki gibi elde edilir.

(5)   \begin{equation*}  \begin{split} f[n] &= \frac{1}{2j} \times (e^{j \phi} \times e^{j \times w \times n \times T_s} - e^{-j\phi} \times e^{-j \times w \times n \times T_s})\\ \end{split} \end{equation*}

Burada e^{j \times \phi} ifadelerini katsayi gibi düşünebiliriz çünki bunlar n değişkenine bağlı
değiller. Diger n bağlı 2 üstel ifadeyi ayrı ayrı Z dönüşümünü alıp sonuca gidebiliriz.

(6)   \begin{equation*}  \begin{split} F(z) &= \frac{1}{2j} \times (\frac{e^{j \phi}}{1 - e^{j \times w \times T_s}\times z^{-1}} - \frac{e^{-j \phi}}{1 - e^{-j \times w \times T_s}\times z^{-1}}) \\ F(z) &= \frac{1}{2j} \times (\frac{e^{j \phi} - e^{-j \phi} + e^{j \times w \times T_s} \times e^{-j \phi} \times z^{-1} - e^{-j \times w \times T_s} \times e^{j \phi} \times z^{-1}}{1 - e^{-j \times w \times T_s} \times z^{-1} - e^{j \times w \times T_s} \times z^{-1} + z^{-2}}) \\ F(z) &= \frac{sin(\phi) + sin(w \times T_s - \phi) \times z^{-1}}{1 - 2 \times cos(w \times T_s) \times z^{-1} + z^{-2}} \end{split} \end{equation*}

Burada;
• w : Açısal frekansı, 2 × π × f
• Ts : Örnekleme periyodu
• φ : Faz açısı
belirtmektedir.

3. FARK DENKLEMİNİN ELDE EDİLMESİ

Denklem-6’da faz farklı sinüs için Z dönüşümü elde edildi. Bu ifade bu haliyle
işlemcide kodlanamaz tekrar ayrık zaman ortamına geçmemiz gerekir. Bu aşamada
tercih edebileceğimiz 3 yöntem var ve ben bu yöntemler arasından direk gerçekleme
yöntemini kullanacağım. Adım adım çözüm aşağıdaki gibidir.

(7)   \begin{equation*}  \begin{split} F(z) &= \frac{O(z)}{I(z)} \\ F(z) &= \frac{O(z)}{R(z)} \times \frac{R(z)}{I(z)} \\ O(z) &= R(z) \times sin(\phi) + R(z) \times z^{-1} \times sin(w \times T_s - \phi) \\ I(z) &= R(z) - R(z) \times z^{-1} \times 2cos(w \times T_s) + R(z) \times z^{-2} \\ R(z) &= I(z) + R(z) \times z^{-1} \times 2cos(w \times T_s) - R(z) \times z^{-2} \\ \end{split} \end{equation*}

Z değişkenine bağlı olarak giriş ve çıkış arasındaki bağıntı yukarıdaki gibi elde
edildi. Burada R(z)’i giriş ile çıkış arasındaki bağlantı noktası olarak düşünebilirsiniz.
Son adım olarak bu denklemlerin ayrık zamandaki karşılığını z^{-x} değerlerinin örnek
geciktirme operatörü olduğu bilgisini kullanarak denklem-8’deki gibi elde ederiz.

(8)   \begin{equation*}  \begin{split} o[n] &= r[n] \times sin(\phi) + r[n - 1] \times sin(w \times T_s - \phi) \\ r[n] &= i[n] + r[n - 1] \times 2cos(w \times T_s) - r[n - 2] \\ \end{split} \end{equation*}

Denklem-8 için blok şema aşağıda verilmiştir.

blok_sema_kirpildi

Bir sonraki uygulama yazısında blok şema yada denklem-8 kullanılarak mikrodenetleyicimizin DAC çıkışından 2 adet aralarında faz farkı bulunan sinüs üreteceğiz.
Herkese çalışmalarında başarılar.

Z DÖNÜŞÜMÜ FAZ FARKLI SİNÜS

Leave a Reply