Z dönüşümü dijital kontrol sistemlerinde kullanılan, işlemcilerimizde elde ettiğimiz denklemleri koşturabilmemiz için kullandığımız bir araçtır. Örneğin zamana bağlı herhangi bir fonksiyonu sin(w*t + x), cos(w*t + y), … yada s-ortamında transfer fonksiyonunu elde ettiğiniz herhangi bir eşitliği kolayca işlemcilerde koşturabiliriz. Bu yazımda faz farklı genel bir sinüs için Z dönüşüm çözümünü elde edeceğiz. Bir sonraki yazıda ise STM32 serisi bir mikrodenetleyici ile burada elde edilen matematiksel sonucumuzun gerçeklemesini yapacağız.
1. Z DÖNÜŞÜMÜ ÖN BİLGİ
Z dönüşümü için denklem-1 de verilen seri toplam eşitliği kullanılır.
(1)
olmak üzere, Ts periyodu ile örnekleme yapıldığında ayrık
zaman denklemi şeklinde yazılır. Bu eşitliğe geometrik seri açılımı formülü uygulandığında denklem-2 elde edilir.
(2)
2. FAZ FARKLI SİNÜS Z DÖNÜŞÜMÜ
Faz farki φ ve acisal frekansi w olan sinus denklemi şeklinde yazılacak olursa, bu ifadenin ayrık zamandaki karşılığını t = n × Ts yazarak
şeklinde elde ederiz.
(3)
Elde edilen yada f[n] ayrık sinus denklemi, denklem-3’deki euler eşitliği kullanı-
larak ayrık sinüs denklemi üstel formda elde edilir ve denklem-2’deki formül kul-
lanılarak Z dönüşümü bulunabilir.
(4)
Faz farkli sinüs denkleminin dijital karşılığı adım adım aşağıdaki gibi elde edilir.
(5)
Burada ifadelerini katsayi gibi düşünebiliriz çünki bunlar n değişkenine bağlı
değiller. Diger n bağlı 2 üstel ifadeyi ayrı ayrı Z dönüşümünü alıp sonuca gidebiliriz.
(6)
Burada;
• w : Açısal frekansı, 2 × π × f
• Ts : Örnekleme periyodu
• φ : Faz açısı
belirtmektedir.
3. FARK DENKLEMİNİN ELDE EDİLMESİ
Denklem-6’da faz farklı sinüs için Z dönüşümü elde edildi. Bu ifade bu haliyle
işlemcide kodlanamaz tekrar ayrık zaman ortamına geçmemiz gerekir. Bu aşamada
tercih edebileceğimiz 3 yöntem var ve ben bu yöntemler arasından direk gerçekleme
yöntemini kullanacağım. Adım adım çözüm aşağıdaki gibidir.
(7)
Z değişkenine bağlı olarak giriş ve çıkış arasındaki bağıntı yukarıdaki gibi elde
edildi. Burada R(z)’i giriş ile çıkış arasındaki bağlantı noktası olarak düşünebilirsiniz.
Son adım olarak bu denklemlerin ayrık zamandaki karşılığını değerlerinin örnek
geciktirme operatörü olduğu bilgisini kullanarak denklem-8’deki gibi elde ederiz.
(8)
Denklem-8 için blok şema aşağıda verilmiştir.
Bir sonraki uygulama yazısında blok şema yada denklem-8 kullanılarak mikrodenetleyicimizin DAC çıkışından 2 adet aralarında faz farkı bulunan sinüs üreteceğiz.
Herkese çalışmalarında başarılar.